Question

14．设计一幅宣传画，要求画面为矩形，面积为4840cm²，画面的底与高的比为λ（λ＞0），画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm的空白．
（1）求宣传画所用矩形纸张面积S=f（λ）的表达式，并求S的最小值；
（2）根据实际情况，需要λ∈[1，$\frac{3}{2}$]体现宣传画的美感，请你确定画面的底与高的尺寸，使宣传画所用纸张面积最小？

Answer 1

分析 （1）设画面高为xcm，宽为λxcm，则依题意可求得宣传画面积的表达式，设纸张面积为S，根据题意得S=（x+16）（λx+10）把前面求得x代入，整理后，根据均值不等式求得S的最小值，进而求得此时的宽和高；
（2）如果λ∈[1，$\frac{3}{2}$]，判断出函数在λ∈[1，$\frac{3}{2}$]内单调递增，进而可知λ=1时，S（λ）取得最小值．

解答 解：（1）设画面高为xcm，宽为λxcm，则λx²=4840
设纸张面积为S，则有
S=（x+16）（λx+10）=λx²+（16λ+10）x+160，
将x=$\frac{22\sqrt{10}}{\sqrt{λ}}$代入上式得S=5000+44$\sqrt{10}$（8$\sqrt{λ}$+$\frac{5}{\sqrt{λ}}$）
当8$\sqrt{λ}$=$\frac{5}{\sqrt{λ}}$，即λ=$\frac{5}{8}$时，S取得最小值，
此时高：x=88cm，宽：λx=55cm；
（2）如果λ∈[1，$\frac{3}{2}$]，则$\sqrt{λ}$∈[1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]，
设$\sqrt{λ}$=t，则y=8t+$\frac{5}{t}$，y′=8-$\frac{5}{{t}^{2}}$＞0
所以S（λ）在区间[1，$\frac{3}{2}$]内单调递增．
从而当λ=1时，S（λ）取得最小值，此时画面高、宽都为22$\sqrt{10}$cm时，所用纸张面积最小．

点评 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．在用均值不等式的时候要特别注意要验证一下等号是否能取到．