题目内容
设函数.
(1)在区间上画出函数的图像;
(2)设集合. 试判断集合和 之间的关系,并给出证明;
(3)当时,求证:在区间上,的图像位于函数图像的
上方.
(1)在区间上画出函数的图像;
(2)设集合. 试判断集合和 之间的关系,并给出证明;
(3)当时,求证:在区间上,的图像位于函数图像的
上方.
(1)见解析(2)(3)见解析
(1)
(2)方程的解分别是和,
由于在和上单调递减,
在和上单调递增,因此
.
由于.
(3)[解法一] 当时,.
,
. 又,
① 当,即时,取,
.
, 则.
② 当,即时,取, =.
由①、②可知,当时,,.
因此,在区间上,的图像位于函数图像的上方.
[解法二] 当时,.
由 得,
令,解得或,
在区间上,当时,的图像与函数的图像只交于一点;
当时,的图像与函数的图像没有交点.
如图可知,由于直线过点,当时,直线是由直线
绕点逆时针方向旋转得到. 因此,在区间上,的图像位于函数图像的上方.
(2)方程的解分别是和,
由于在和上单调递减,
在和上单调递增,因此
.
由于.
(3)[解法一] 当时,.
,
. 又,
① 当,即时,取,
.
, 则.
② 当,即时,取, =.
由①、②可知,当时,,.
因此,在区间上,的图像位于函数图像的上方.
[解法二] 当时,.
由 得,
令,解得或,
在区间上,当时,的图像与函数的图像只交于一点;
当时,的图像与函数的图像没有交点.
如图可知,由于直线过点,当时,直线是由直线
绕点逆时针方向旋转得到. 因此,在区间上,的图像位于函数图像的上方.
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