Question

2．记函数f（x）的导数为f^（1）（x），f^（1）（x）的导数为f^（2）（x），…，f^（n-1）（x）的导数为fⁿ（x）（n∈N^*），若f（x）可进行n次求导，则f（x）均可近似表示为：f（x）=f（0）+$\frac{{f}^{（1）}（0）}{1!}$x+$\frac{{f}^{（2）}（0）}{2!}$x²+$\frac{{f}^{（3）}（0）}{3!}$x³+…+$\frac{{f}^{（n）}（0）}{n!}$xⁿ，若取n=5，根据这个结论，则可近似估计sin2=$\frac{14}{15}$（用分数表示）

Answer 1

分析 根据定义分别求出fⁿ（x），（n=1，2，3，4，5）的值，利用近似式子进行求解即可．

解答 解：设f（x）=sinx，则f^（1）（x）=cosx，f^（2）（x）=-sinx，f^（3）（x）=-cosx，f^（4）（x）=sinx，f^（5）（x）=cosx，f（0）=0，
则由f（x）=f（0）+$\frac{{f}^{（1）}（0）}{1!}$x+$\frac{{f}^{（2）}（0）}{2!}$x²+$\frac{{f}^{（3）}（0）}{3!}$x³+…+$\frac{{f}^{（n）}（0）}{n!}$xⁿ，
得当n=5时，f（2）=f（0）+$\frac{{f}^{（1）}（0）}{1!}$×2+$\frac{{f}^{（2）}（0）}{2!}$×2²+$\frac{{f}^{（3）}（0）}{3!}$×2³+$\frac{{f}^{（4）}（0）}{4!}$×2⁴+$\frac{{f}^{（5）}（0）}{5!}$×2⁵
=0+1×2+0+$\frac{-1}{6}×8$+$\frac{1}{120}×32$=2-$\frac{4}{3}$+$\frac{4}{15}$=$\frac{14}{15}$，
故答案为：$\frac{14}{15}$

点评 本题主要考查与导数有关的新定义题目，正确理解题意是解决本题的关键．要求熟练掌握常见函数的导数公式．