题目内容
【题目】已知直线,
,
,记
,
,
.
(1)当时,求原点关于直线
的对称点坐标;
(2)在中,求
边上中线长的最小值;
(3)求面积的取值范围.
【答案】(1)(2)最小值为
.(3)
【解析】
(1)当时,直线
,设原点关于
的对称点为
,利用 斜率与中点坐标公式列方程求解即可;(2)先证明
,可得
为直角三角形,则中线长为
,再求得
与
的交点
,
与
的交点
,利用两点间的距离公式,结合二次函数的性质可得结果;(3)求得
与
交点
的坐标,可得
,再求得
点到
距离
,则三角形面积
,分类讨论,利用基本不等式可得结果.
(1)当时,直线
,
设原点关于的对称点为
,则
解得
故所求点的坐标为.
(2)法一:由,得
,
故为直角三角形,且
为斜边,中线长为
,
由,得
与
的交点
,
由,得
与
的交点
,
故中线长,即当
时,中线长有最小值为
.
法二:因为点是
轴上动点,所以当
垂直
轴时
最短,
此时中线长最小值为.
(3)由,得
与
交点
,
由两点间距离公式得,
点到
距离
,
三角形面积
,
当时,
;
当时
;
当时
.
所以,,
.
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