题目内容
10.已知f(x)=x2-2ax-3a2(1)设a=1,解不等式f(x)>0;
(2)若不等式f(x)<x的解集中有且仅有一个整数,求a的取值范围;
(3)若a>$\frac{1}{4}$,且当x∈[1,4a]时,|f(x)|≤4a恒成立,试确定a的取值范围.
分析 (1)将a=1代入函数的表达式,令f(x)>0,解出即可;
(2)通过讨论a=0,a≠0两种情况,结合二次函数的性质,得到不等式组,从而求出a的范围;
(3)通过讨论a的范围,得到不等式组,解出即可.
解答 解:(1)a=1时,f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1),
令f(x)>0,解得:x>3或x<-1;
(2)令g(x)=x2-(2a+1)x-3a2,
若a=0,则g(x)=x2-x,令g(x)<0,解得:0<x<1,
∴f(x)<x的解集为(0,1),不满足条件;
若a≠0,则g(0)<0,
所以$\left\{{\begin{array}{l}{g(1)≥0}\\{g({-1})≥0}\end{array}}\right.$,得$\frac{{1-\sqrt{7}}}{3}≤a<0$,
(3)若$\frac{1}{4}<a≤1$,则$\left\{{\begin{array}{l}{|{f(1)}|≤4a}\\{|{f({4a})}|≤4a}\end{array}}\right.$,
即$\left\{{\begin{array}{l}{|{1-2a-3{a^2}}|≤4a}\\{|{5{a^2}}|≤4a}\end{array}}\right.$,得$\frac{1}{4}<a≤\frac{4}{5}$,
若a>1,|f(4a)|=|5a2|≤4a不成立,
所以a的取值范围是($\frac{1}{4}$,$\frac{4}{5}$].
点评 本题考查了二次函数的性质,考查不等式的性质,是一道中档题.
练习册系列答案
相关题目
5.函数y=$\sqrt{3-x}$+lg(x+1)的定义域是( )
A. | (-1,3) | B. | [-1,3) | C. | (-1,3] | D. | (3,+∞) |
2.若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=$\sqrt{6}$,A=$\frac{π}{4}$,a=2,则C=( )
A. | $\frac{π}{6}$ | B. | $\frac{π}{3}$ | C. | $\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$ | D. | $\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$ |
19.函数f(x)=x•e-x的单调递增区间是( )
A. | [-1,+∞) | B. | (-∞,1] | C. | [-1,1] | D. | (-∞,-1] |