题目内容

10.已知f(x)=x2-2ax-3a2
(1)设a=1,解不等式f(x)>0;
(2)若不等式f(x)<x的解集中有且仅有一个整数,求a的取值范围;
(3)若a>$\frac{1}{4}$,且当x∈[1,4a]时,|f(x)|≤4a恒成立,试确定a的取值范围.

分析 (1)将a=1代入函数的表达式,令f(x)>0,解出即可;
(2)通过讨论a=0,a≠0两种情况,结合二次函数的性质,得到不等式组,从而求出a的范围;
(3)通过讨论a的范围,得到不等式组,解出即可.

解答 解:(1)a=1时,f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1),
令f(x)>0,解得:x>3或x<-1;
(2)令g(x)=x2-(2a+1)x-3a2
若a=0,则g(x)=x2-x,令g(x)<0,解得:0<x<1,
∴f(x)<x的解集为(0,1),不满足条件;
若a≠0,则g(0)<0,
所以$\left\{{\begin{array}{l}{g(1)≥0}\\{g({-1})≥0}\end{array}}\right.$,得$\frac{{1-\sqrt{7}}}{3}≤a<0$,
(3)若$\frac{1}{4}<a≤1$,则$\left\{{\begin{array}{l}{|{f(1)}|≤4a}\\{|{f({4a})}|≤4a}\end{array}}\right.$,
即$\left\{{\begin{array}{l}{|{1-2a-3{a^2}}|≤4a}\\{|{5{a^2}}|≤4a}\end{array}}\right.$,得$\frac{1}{4}<a≤\frac{4}{5}$,
若a>1,|f(4a)|=|5a2|≤4a不成立,
所以a的取值范围是($\frac{1}{4}$,$\frac{4}{5}$].

点评 本题考查了二次函数的性质,考查不等式的性质,是一道中档题.

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