Question

10．平面直角坐标系中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立的极坐标系中，曲线C₂的方程为ρ=2sinθ．
（1）求C₁和C₂的普通方程；
（2）其C₁和C₂公共弦的垂直平分线的极坐标方程．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的运算公式化简cos²α+sin²α=1，即可得出普通方程．
（2）C₁的普通方程：（x-1）²+y²=1，曲线C₂的方程为x²+y²=2y．相减得出y=x，AB的垂直平分线的方程：x+y=1，利用极坐标方程求解．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}{x=1-cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，（α为参数），
∴$\left\{\begin{array}{l}{cosα=1-x}\\{sinα=y}\end{array}\right.$，
cos²α+sin²α=1，
∴C₁的普通方程：（x-1）²+y²=1，
∵$ρ=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，sin$α=\frac{y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$．
曲线C₂的方程为ρ=2sinθ．
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{2y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$
即曲线C₂的方程为x²+y²=2y．
（2）∵C₁的普通方程：（x-1）²+y²=1，
曲线C₂的方程为x²+y²=2y．
∴相减得出y=x，
交点为A（0，0），B（（1，1），
∴中点为（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），y=-x+1，
∴AB的垂直平分线的方程：x+y=1，
$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$（$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$$+\frac{y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$）=1，
∴C₁和C₂公共弦的垂直平分线的极坐标方程：ρcos（$θ-\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$

点评 本题考查了圆直线的参数方程，极坐标方程的相互转化，属于中档题，关键是确定方程的形式．