Question

【题目】对于数列{an}，若an+2﹣an=d（d是与n无关的常数，n∈N*），则称数列{an}叫做“弱等差数列”，已知数列{an}满足：a1=t，a2=s且an+an+1=an+b对于n∈N*恒成立，（其中t，s，a，b都是常数）．
（1）求证：数列{an}是“弱等差数列”，并求出数列{an}的通项公式；
（2）当t=1，s=3时，若数列{an}是等差数列，求出a、b的值，并求出{an}的前n项和Sn；
（3）若s＞t，且数列{an}是单调递增数列，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵数列{an}满足：a1=t，a2=s且an+an+1=an+b对于n∈N*恒成立，

∴an+1=an+b﹣an，

an+2=a（n+1）+b﹣an+1=（an+a+b）﹣（an+b）+an=a+an，

∴an+2﹣an=a，

∴数列{an}是“弱等差数列”．

∵a1=t，a2=s，an+2﹣an=a，

∴{an}中奇数项是以t为首项，以a为公差的等差数列，偶数列是以s为首项，以a为公差的等差数列，

∴an=

（2）解：∵当t=1，s=3时，数列{an}是等差数列，

∴a1=1，a2=3，3+a3=2a+b，

∴a3=2a+b﹣3，2a+b﹣3+a4=3a+b，∴a4=a+3，

∴ ，解得a=4，b=0，

∴数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，

∴Sn=2n+ =n2+n

（3）解：∵s＞t，且数列{an}是单调递增数列，

∴a2k+1﹣a2k=（t+ka）﹣[s+（k﹣1）a]=t﹣s+a＞0，

∴a＞s﹣t．

∴a的取值范围是（s﹣t，+∞）

【解析】（1）由已知得an+2=a（n+1）+b﹣an+1=（an+a+b）﹣（an+b）+an=a+an ， 由此能证明数列{an}是“弱等差数列”．由a1=t，a2=s，an+2﹣an=a，得到{an}中奇数项是以t为首项，以a为公差的等差数列，偶数列是以s为首项，以a为公差的等差数列，由此能求出数列{an}的通项公式．（2）由递推公式求出a1=1，a2=3，a3=2a+b﹣3，a4=a+3，由此利用等差数列性质能求出a=4，b=0，从而得到数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，由此能求了Sn ． （3）由已知得a2k+1﹣a2k=（t+ka）﹣[s+（k﹣1）a]=t﹣s+a＞0，由经能求出a的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．