Question

【题目】已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f()＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的单调性；

(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2.

Answer 1

【答案】（1）0

（2）函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数

（3）{x|x>9或x<－9}

【解析】解：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.

(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1.

由于当x>1时，f(x)<0，所以f()<0，即f(x1)－f(x2)<0，

因此f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．

(3)令x1＝9，x2＝3，由f()＝f(x1)－f(x2)，得f()＝f(9)－f(3)，

而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.

由于函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，

所以f(|x|)<f(9)，即|x|>9，解得x>9或x<－9，

因此原不等式的解集为{x|x>9或x<－9}．