Question

【题目】已知函数f（x）=x2+ax（a∈R），g（x）= （f′（x）为f（x）的导函数），若方程g（f（x））=0有四个不等的实根，则a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞，0）∪（2，+∞）
【解析】解：当a=0时，可知方程g（f（x））=0有且只有一个根；
当a≠0时，
∵f（x）=x2+ax，f′（x）=2x+a；
∴g（x）= ，
当f（x）≥0时，f2（x）+af（x）=0，
∴f（x）=0或f（x）=﹣a，
即x2+ax=0或x2+ax=﹣a；
由x2+ax=0可解得x=0或x=﹣a；
当a＞0时，方程f（x）=﹣a无解；
当a＜0时，方程f（x）=﹣a可化为x2+ax+a=0，
而△=a2﹣4a＞0；
故方程x2+ax+a=0有两个不同的根，
且0，﹣a不是方程x2+ax+a=0的根；
当f（x）＜0时，2f（x）+a=0，
当a＜0时，方程2x2+2ax+a=0没有实数根；
当a＞0时，△=4a（a﹣2），
当a=2时，方程有且只有一个实数根；
当a＞2时，方程2x2+2ax+a=0有两个不同的实数根；
综上所述，
当a＜0或a＞2时，方程g（f（x））=0有四个不等的实根；
故a的取值范围是（﹣∞，0）∪（2，+∞）；
所以答案是：（﹣∞，0）∪（2，+∞）．