题目内容
(本小题满分16分)
已知函数是偶函数.
(1)求的值;
(2)设函数,其中若函数与的图象有且只有一个交点,求的取值范围.
已知函数是偶函数.
(1)求的值;
(2)设函数,其中若函数与的图象有且只有一个交点,求的取值范围.
(1);(2)。
本试题主要是考查了函数的奇偶性和函数与方程的综合运用。
(1)∵是偶函数,∴对任意,恒成立即:恒成立,∴
(2)由于,所以定义域为,
也就是满足∵函数与的图象有且只有一个交点,
∴方程在上只有一解
即:方程在上只有一解,结合指数函数构造二次函数求解得到。
解:(1)∵是偶函数,
∴对任意,恒成立 2分
即:恒成立,∴ 5分
(2)由于,所以定义域为,
也就是满足 7分
∵函数与的图象有且只有一个交点,
∴方程在上只有一解
即:方程在上只有一解 9分
令则,因而等价于关于的方程
(*)在上只有一解 10分
① 当时,解得,不合题意; 11分
② 当时,记,其图象的对称轴
∴函数在上递减,而
∴方程(*)在无解 13分
③ 当时,记,其图象的对称轴
所以,只需,即,此恒成立
∴此时的范围为 15分
综上所述,所求的取值范围为 16分
(1)∵是偶函数,∴对任意,恒成立即:恒成立,∴
(2)由于,所以定义域为,
也就是满足∵函数与的图象有且只有一个交点,
∴方程在上只有一解
即:方程在上只有一解,结合指数函数构造二次函数求解得到。
解:(1)∵是偶函数,
∴对任意,恒成立 2分
即:恒成立,∴ 5分
(2)由于,所以定义域为,
也就是满足 7分
∵函数与的图象有且只有一个交点,
∴方程在上只有一解
即:方程在上只有一解 9分
令则,因而等价于关于的方程
(*)在上只有一解 10分
① 当时,解得,不合题意; 11分
② 当时,记,其图象的对称轴
∴函数在上递减,而
∴方程(*)在无解 13分
③ 当时,记,其图象的对称轴
所以,只需,即,此恒成立
∴此时的范围为 15分
综上所述,所求的取值范围为 16分
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