Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的左、右顶点为A，B，右焦点为F.过点A且斜率为k（）的直线交椭圆C于另一点P.

（1）求椭圆C的离心率；

（2）若，求的值；

（3）设直线l:，延长AP交直线l于点Q，线段BQ的中点为E，求证：点B关于直线EF的对称点在直线PF上.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）详见解析

【解析】

第一问利用离心率的公式直接求解；第二问将直线AP的方程为与椭圆C的方程联立求出点P的坐标，再利用两点间的距离公式即可求出的值；第三问先求出点的坐标，再利用中点坐标公式求出点的坐标，然后求出点P的坐标及直线PF的斜率、直线EF的斜率，最后根据得出即可证明.

（1）因为椭圆C：，所以，，.又，所以，，所以椭圆C的离心率.

（2）因为直线AP的斜率为，且过椭圆C的左顶点，

所以直线AP的方程为.代入椭圆C的方程，

得，即，解得或（舍去），将代入，得，所以点P的坐标为.又椭圆C的右顶点B（2t,0），

所以，，所以.

（3）直线AP的方程为，将代入，得，所以.因为E为线段BQ的中点，所以，因为焦点F的坐标为（t,0），

所以直线EF的斜率.联立消y得，.由于，，所以，所以点P的坐标为，

所以直线PF的斜率.而直线EF的斜率为2k，

若设，则有，即，

所以点B关于直线EF的对称点在直线PF上.