题目内容
【题目】请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=xcm2
(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm)最大,试问x应取何值?
(2)若广告商要求包装盒容积V(cm)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
【答案】(1)x=15cm (2)
【解析】
试题(1)先设包装盒的高为,底面边长为,写出,与的关系式,并注明的取值范围,再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积关于的函数解析式,最后求出何时它取得最大值即可;
(2)利用体积公式表示出包装盒容积关于的函数解析式,利用导数知识求出何时它取得的最大值即可.
设包装盒的高为,底面边长为
由已知得
(1)∵
∴当时,取得最大值
(2)根据题意有
∴。
由得,(舍)或。
∴当时;当时
∴当时取得极大值,也是最大值,此时包装盒的高与底面边长的比值为
即包装盒的高与底面边长的比值为.
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