题目内容
【题目】请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得
四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm2
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm
）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm
）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
【答案】（1）x=15cm （2）
【解析】
试题（1）先设包装盒的高为
，底面边长为
，写出
，
与
的关系式，并注明的取值范围，再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积
关于的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；
（2）利用体积公式表示出包装盒容积
关于的函数解析式，利用导数知识求出何时它取得的最大值即可．
设包装盒的高为，底面边长为
由已知得
（1）∵
∴当
时，取得最大值
（2）根据题意有
∴
。
由
得，
(舍)或
。
∴当
时
；当
时
∴当
时取得极大值，也是最大值，此时包装盒的高与底面边长的比值为
即包装盒的高与底面边长的比值为．
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