题目内容

【题目】（1）在圆内直径所对的圆周角是直角.此定理在椭圆内（以焦点在轴上的标准形式为例）可表述为“过椭圆的中心的直线交椭圆于两点，点是椭圆上异于的任意一点，当直线，斜率存在时，它们之积为定值.”试求此定值；

（2）在圆内垂直于弦的直径平分弦.类比（1）将此定理推广至椭圆，不要求证明.

【答案】（1）定值为 (2)见证明

【解析】

（1）设，，由椭圆的对称性可知，由两点间的斜率坐标表示及点在椭圆上的等量关系化简可得解；

（2）类比第一问，利用坐标运算求解即可.

（1）设，，由椭圆的对称性可知

∵直线，的斜率存在，

∴ ①

又∵在椭圆上

∴， ②

将②代入①得

故此定值为.

（2）此定理在椭圆内可表述为：

为椭圆的任意一条存在斜率的弦，的中点为，为坐标原点.当直线的斜率存在时，直线与直线的斜率之积为定值.

设，，则

①

又∵在椭圆上

∴， ②

将②代入①得

故此定值为.

练习册系列答案
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