题目内容
【题目】（1）在圆内直径所对的圆周角是直角.此定理在椭圆内（以焦点在
轴上的标准形式为例）可表述为“过椭圆
的中心
的直线交椭圆于
两点，点
是椭圆上异于的任意一点，当直线
，
斜率存在时，它们之积为定值.”试求此定值；
（2）在圆内垂直于弦的直径平分弦.类比（1）将此定理推广至椭圆，不要求证明.
【答案】（1）定值为
(2)见证明
【解析】
（1）设
，
，由椭圆的对称性可知
，由两点间的斜率坐标表示及点在椭圆上的等量关系化简可得解；
（2）类比第一问，利用坐标运算求解即可.
（1）设，，由椭圆的对称性可知
∵直线
，
的斜率存在，
∴
①
又∵
在椭圆上
∴
，
②
将②代入①得
故此定值为
.
（2）此定理在椭圆内可表述为：
为椭圆
的任意一条存在斜率的弦，的中点为
，
为坐标原点.当直线
的斜率存在时，直线与直线的斜率之积为定值.
设
，
，则
①
又∵
在椭圆上
∴
，
②
将②代入①得
故此定值为.
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