Question

7．已知数列{a_n}满足a₁=1，（n+1）a_n+1=na_n，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{n}{n+1}$，由此利用累乘法能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由b_n=$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$=n•2ⁿ，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}满足a₁=1，（n+1）a_n+1=na_n，n∈N^*，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{n}{n+1}$，
∴${a}_{n}={a}_{1}×\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}×\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}×…×\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$
=1×$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×…×\frac{n-1}{n}$
=$\frac{1}{n}$，
∴数列{a_n}的通项公式${a}_{n}=\frac{1}{n}$．
（Ⅱ）∵b_n=$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$=n•2ⁿ，
∴数列{b_n}的前n项和：
T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，①
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}-n×{2}^{n+1}$
=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
∴${T}_{n}=（n-1）×{2}^{n+1}+2$．

点评 本题考查数列的通项公式和数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累乘法和错位相减法的合理运用．