Question

【题目】设函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若函数存在极值，对于任意的，存在正实数，使得，试判断与的大小关系并给出证明.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当时，在上单调递增.当时，在上单调递增，在上单调递减.（Ⅱ）详见解析

【解析】【试题分析】（Ⅰ）依据题设条件先求导，再分类讨论探求；（Ⅱ）借助题设条件，运用等价转化与化归的数学思想进行转化，然后再运用导数的知识分析探求：

解（Ⅰ）的定义域为，.

当时，则，所以在上单调递增.

当时，则由得，，（舍去）.当时，，当时，.所以在上单调递增，在上单调递减.

综上所述，当时，在上单调递增.

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，存在极值.

.

由题设得.

又，所以

.设，则，则.

令，则，所以在上单调递增，所以，故.

又因为，因此，即.

又由知在上单调递减，所以，即.