题目内容
【题目】设集合
(1)当A中元素个数为1时,求:a和A;
(2)当A中元素个数至少为1时,求:a的取值范围;
(3)求:A中各元素之和.
【答案】(1)当时,
;当
时,
;(2)
;(3)当
时,A中元素之和为
;当
且
时,A中元素之和为
;当
时,A中元素之和为
;当
时,A中无元素;
【解析】
集合中元素的个数就是方程的解的个数。(1)当A中元素个数为1时,方程一个解,要考虑二次项系数是否为0,不等于0时,按一元二次方程处理;(2)当A中元素个数至少为1时,方程至少一个解,要考虑二次项系数是否为0,不等于0时,按一元二次方程处理;(3)求A中各元素之和,就是求方程
解的和。要考虑二次项系数是否为0,等于0时,可以求根。不等于0时,按一元二次方程处理,要讨论是否有解。
(1) 当A中元素个数为1时,集合中的方程
只有一个解。当
时,方程变为
,方程只有一个解
,符合题意,此时
;当
时,
,所以,
,此时,
; 综上,当
时,
;当
时,
。
(2) 当A中元素个数至少为1时,集合中的方程
至少有一个解。由(1)知,
符合题意;当
时,
,解得
,所以
且
。综上,a的取值范围为
。
(3)由(1)知,当时,集合A中元素之和为
,当
时,A中元素之和为
;由(2)知,当
且
时,方程
有两个根,由韦达定理可得A中元素之和为
;当
时,
,此时,方程
无解。综上所述,当
时,A中元素之和为
;当
且
时,A中元素之和为
;当
时,A中元素之和为
;当
时,A中无元素。
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