题目内容
19．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现：“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现作为条件．（Ⅰ）函数g（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+3x-\frac{5}{12}$的对称中心为（$\frac{1}{2}$，1）；
（Ⅱ）若函数g（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+3x-\frac{5}{12}+\frac{1}{2x-1}$，则$g（\frac{1}{2015}）+g（\frac{2}{2015}）+g（\frac{3}{2015}）+…+g（\frac{2014}{2015}）$=2014．
分析 由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（$\frac{1}{2}$，1）对称，即f（x）+f（1-x）=2，即可得到结论
解答 解：（Ⅰ）函数的导数g′（x）=x2-x+3，
g″（x）=2x-1，
由g″（x0）=0得2x0-1=0
解得x0=$\frac{1}{2}$，而f（$\frac{1}{2}$）=1，
故函数g（x）关于点（$\frac{1}{2}$，1）对称，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）+g（1-x）=2，
故设$g（\frac{1}{2015}）+g（\frac{2}{2015}）+g（\frac{3}{2015}）+…+g（\frac{2014}{2015}）$=m，
则g（$\frac{2014}{2015}$）+g（$\frac{2013}{2015}$）+…+g（$\frac{1}{2015}$）=m，
两式相加得2×2014=2m，
则m=2014．
故答案为：（$\frac{1}{2}$，1），2014．
点评 本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．求和的过程中使用了倒序相加法．
练习册系列答案
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4．下列各式中，值为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的是（ ）
| A． | $\sqrt{\frac{{1+cos{{120}°}}}{2}}$ | B． | ${cos^2}\frac{π}{12}-{sin^2}\frac{π}{12}$ | ||
| C． | cos42°sin12°-sin42°cos12° | D． | $\frac{{tan{{15}°}}}{{1-{{tan}^2}{{15}°}}}$ |