题目内容

10．设命题p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0（a≠0）恒成立；命题q：向量$\overrightarrow{m}$=（-2，1）与$\overrightarrow{n}$=（a，-1）（a∈R）的夹角θ为钝角，如果p∧q为真命题，求a的取值范围．

分析 根据二次函数恒成立的充要条件，我们可以求出命题p为真时，实数a的取值范围，根据向量夹角公式，我们可以求出命题q为真时，实数a的取值范围，结合p∧q为真命题，即可得到实数a的取值范围．

解答 解：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立?$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$?0＜a＜4，
由命题q：$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$＜0且不反向，
因此-2a-1＜0且a≠2，即a＞-$\frac{1}{2}$且a≠2，
∵p∧q为真命题，∴p真q真，
∴0＜a＜2或2＜a＜4，
∴实数a的范围是（0，2）∪（2，4）．

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题的真假，函数恒成立问题，其中判断出命题p与命题q为真时，实数a的取值范围，是解答本题的关键．

练习册系列答案
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