题目内容
【题目】在
的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为
.
（1）求展开式的常数项：
（2）求展开式中所有奇数项的系数和.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）根据题意，由二项式定理可得
，解可得
，即可得其展开式的通项，令
，解可得
，将
的值代入通项分析可得答案；
（2）根据题意，设其展开式中奇数项的系数为
、
、
、
，偶数项的系数为
、
、
、
，进而令
可得：
，令
可得：
，联立两式计算可得答案．
解：（1）根据题意，在
的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，
则，解可得，
则的二项展开式的通项为
，
令，解可得，
则有
，即其常数项为112；
（2）在的二项展开式中，通项为
，
设奇数项的系数为、、、，偶数项的系数为、、、，
在中，令可得：，①
令可得：，②
①
②可得：
．
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