题目内容
【题目】在数列 
中，已知 
，
为常数.
(1)证明: 
成等差数列;
(2)设 
，求数列
的前n项和 
；
(3)当
时，数列 
中是否存在不同的三项
成等比数列，
且
也成等比数列?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）详见解析，
（2）当
，当
（3）不存在
【解析】
试题（1）判定三项成等差数列，基本方法为验证：分别求出
，
，
，满足
（2）将条件
变形为
，从而
是以0为首项，公差为
的等差数列，即
，所以
，
，当，当
（3）由（2）用累加法可求得
，假设存在三项
成等比数列，且
也成等比数列，则
，即
，
，化简得
，得
．矛盾．
试题解析：（1）因为
，
所以
，
同理，，， 2分
又因为
，
， 3分
所以，
故
，
，
成等差数列． 4分
（2）由，得， 5分
令
，则
，
，
所以
是以0为首项，公差为的等差数列，
所以
， 6分
即，
所以，
所以． 8分
当， 9分
当． 10分
（3）由（2）知，
用累加法可求得
，
当
时也适合，所以
12分
假设存在三项成等比数列，且也成等比数列，
则，即， 14分
因为成等比数列，所以，
所以
，
化简得，联立，得．
这与题设矛盾．
故不存在三项成等比数列，且也成等比数列． 16分
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