题目内容
【题目】在数列 中,已知
,
为常数.
(1)证明: 成等差数列;
(2)设 ,求数列
的前n项和
;
(3)当时,数列
中是否存在不同的三项
成等比数列,
且也成等比数列?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)详见解析,
(2)当,当
(3)不存在
【解析】
试题(1)判定三项成等差数列,基本方法为验证:分别求出,
,
,满足
(2)将条件
变形为
,从而
是以0为首项,公差为
的等差数列,即
,所以
,
,当
,当
(3)由(2)用累加法可求得
,假设存在三项
成等比数列,且
也成等比数列,则
,即
,
,化简得
,得
.矛盾.
试题解析:(1)因为,
所以,
同理,,
, 2分
又因为,
, 3分
所以,
故,
,
成等差数列. 4分
(2)由,得
, 5分
令,则
,
,
所以是以0为首项,公差为
的等差数列,
所以, 6分
即,
所以,
所以. 8分
当, 9分
当. 10分
(3)由(2)知,
用累加法可求得,
当时也适合,所以
12分
假设存在三项成等比数列,且
也成等比数列,
则,即
, 14分
因为成等比数列,所以
,
所以,
化简得,联立
,得
.
这与题设矛盾.
故不存在三项成等比数列,且
也成等比数列. 16分
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