Question

【题目】已知函数.

（1）求在上的最值；

（2）若，当有两个极值点时，总有，求此时实数的值.

Answer 1

【答案】(1) 当时，，当时，.

(2) .

【解析】分析：，∵，∴，∴，∴在上单调递增，即可求解；（2）g′（x）=（x2+2x-1-a）ex，x1+x2=-2，a＞-2，x2∈（-1，+∞），g（x2）≤t（2+x1）（ex2+1）（x22-1-a）ex2≤t（2+x1））（ex2+1），-2x2ex2≤t（-x2）（ex2+1），当x2=0时，t∈R；当x2∈（-1，0）时，恒成立，当x2∈（0，+∞）时，恒成立，综上所述.

详解：

（1），

∵，∴，∴，

∴在上单调递增，

∴当时，

当时，

（2），则

根据题意，方程有两个不同的实根，

所以,即,且.由，

可得，又，

所以上式化为对任意的恒成立.

（ⅰ）当时，不等式恒成立，；

（ⅱ）当时，恒成立，即.

令函数，显然，是上的增函数，

所以当时，，所以.

（ⅲ）当时，恒成立，即.

由（ⅱ）得，当时，，所以.

综上所述.