题目内容
【题目】已知,其中
为自然对数的底数.
(Ⅰ)设(其中
为
的导函数),判断
在
上的单调性;
(Ⅱ)若无零点,试确定正数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)单调递增;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:
(1) 在定义域内恒正,则
在
上单调递增.
(2)结合(1)的结论分类讨论:
①当时,不符合题意;
②当时,不符合题意;
③当时,
没有零点.
综上所述,正数的取值范围是
.
试题解析:
(Ⅰ)因为,则
,
,
所以,所以
在
上单调递增.
(Ⅱ)由知
,
由(Ⅰ)知在
上单调递增,且
,可知当
时,
,
则有唯一零点,设此零点为
.
易知时,
,
单调递增;
时,
,
单调递减,
故,其中
.
令,则
,
易知在
上恒成立,所以
,
在
上单调递增,且
.
①当时,
,由
在
上单调递增知
,
则,由
在
上单调递增,
,所以
,故
在
上有零点,不符合题意;
②当时,
,由
的单调性知
,则
,此时
有一个零点,不符合题意;
③当时,
,由
的单调性知
,则
,此时
没有零点.
综上所述,当无零点时,正数
的取值范围是
.
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