题目内容

【题目】已知,其中为自然对数的底数.

(Ⅰ)设(其中的导函数),判断上的单调性;

(Ⅱ)若无零点,试确定正数的取值范围.

【答案】(Ⅰ)单调递增;(Ⅱ) .

【解析】试题分析:

(1) 在定义域内恒正,则上单调递增.

(2)结合(1)的结论分类讨论:

①当时,不符合题意;

②当时,不符合题意;

③当时, 没有零点.

综上所述,正数的取值范围是.

试题解析:

(Ⅰ)因为,则

所以,所以上单调递增.

(Ⅱ)由

由(Ⅰ)知上单调递增,且,可知当时,

有唯一零点,设此零点为.

易知时, 单调递增; 时, 单调递减,

,其中.

,则

易知上恒成立,所以 上单调递增,且.

①当时, ,由上单调递增知

,由上单调递增, ,所以,故上有零点,不符合题意;

②当时, ,由的单调性知,则,此时有一个零点,不符合题意;

③当时, ,由的单调性知,则,此时没有零点.

综上所述,当无零点时,正数的取值范围是.

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