题目内容

【题目】设函数f(x)=x3﹣ax﹣b,x∈R,其中a,b∈R.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)存在极值点x0 , 且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0 , 求证:x1+2x0=0;
(3)设a>0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值不小于

【答案】
(1)

解:若f(x)=x3﹣ax﹣b,则f′(x)=3x2﹣a,

分两种情况讨论:

①、当a≤0时,有f′(x)=3x2﹣a≥0恒成立,

此时f(x)的单调递增区间为(﹣∞,+∞),

②、当a>0时,令f′(x)=3x2﹣a=0,解得x=- 或x=

当x> 或x<﹣ 时,f′(x)=3x2﹣a>0,f(x)为增函数,

当﹣ <x< 时,f′(x)=3x2﹣a<0,f(x)为减函数,

故f(x)的增区间为(﹣∞,﹣ ),( ,+∞),减区间为(﹣


(2)

解:若f(x)存在极值点x0,则必有a>0,且x0≠0,

由题意可得,f′(x)=3x2﹣a,则x02=

进而f(x0)=x03﹣ax0﹣b=﹣ x0﹣b,

又f(﹣2x0)=﹣8x03+2ax0﹣b=﹣ x0+2ax0﹣b=f(x0),

由题意及(Ⅰ)可得:存在唯一的实数x1,满足f(x1)=f(x0),其中x1≠x0

则有x1=﹣2x0,故有x1+2x0=0;


(3)

解:设g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值M,max{x,y}表示x、y两个数的最大值,

下面分三种情况讨论:

①当a≥3时,﹣ ≤﹣1<1≤

由(I)知f(x)在区间[﹣1,1]上单调递减,

所以f(x)在区间[﹣1,1]上的取值范围是[f(1),f(﹣1)],

因此M=max{|f(1)|,|f(﹣1)|}=max{|1﹣a﹣b|,|﹣1+a﹣b|}

=max{|a﹣1+b|,|a﹣1﹣b|}=

所以M=a﹣1+|b|≥2

②当 a<3时,

由(Ⅰ)、(Ⅱ)知,f(﹣1)≥ =f( ),f(1)≤ =

所以f(x)在区间[﹣1,1]上的取值范围是[f( ),f(﹣ )],

因此M=max{|f( )|,|f(﹣ )|}=max{| |,| |}

=max{| |,| |}=

③当0<a< 时,

由(Ⅰ)、(Ⅱ)知,f(﹣1)< =f( ),f(1)> =

所以f(x)在区间[﹣1,1]上的取值范围是[f(﹣1),f(1)],

因此M=max{|f(﹣1)|,|f(1)|}=max{|﹣1+a﹣b|,|1﹣a﹣b|}

=max{|1﹣a+b|,|1﹣a﹣b|}=1﹣a+|b|>

综上所述,当a>0时,g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值不小于


【解析】(1)求出f(x)的导数,讨论a≤0时f′(x)≥0,f(x)在R上递增;当a>0时,由导数大于0,可得增区间;导数小于0,可得减区间;
(2)由条件判断出a>0,且x0≠0,由f′(x0)=0求出x0 , 分别代入解析式化简f(x0),f(﹣2x0),化简整理后可得证;
(3)设g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值M,根据极值点与区间的关系对a分三种情况讨论,运用f(x)单调性和前两问的结论,求出g(x)在区间上的取值范围,利用a的范围化简整理后求出M,再利用不等式的性质证明结论成立.
本题考查导数的运用:求单调区间和最值,不等式的证明,注意运用分类讨论的思想方法和转化思想,考查分析法在证明中的应用,以及化简整理、运算能力,属于难题.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减,以及对函数的极值与导数的理解,了解求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值.

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