题目内容
【题目】如图,在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E是BC的中点,F是棱CD上的动点,G为C1D1的中点,H为A1G的中点.
(1)当点F与点D重合时,求证:EF⊥AH;
(2)设二面角C1﹣EF﹣C的大小为θ,试确定点F的位置,使得sin θ= .
【答案】
(1)证明:以点A为坐标原点,建立如图(2)所示的空间直角坐标系,
则A1(0,0,1),C1(1,1,1),D(0,1,0),E ,
G ,H
,
设F(x,1,0)(0≤x≤1),当点F与点D重合时,易知F(0,1,0),
=
,
=
,
∴ =0,∴EF⊥AH.
(2)解:易知 =
,
=
,且x≠1.
设 =(a,b,c)是平面C1EF的法向量,则
,∴
,
令c=1,则平面C1EF的一个法向量 =
.
又 =(0,0,1)是平面EFC的一个法向量,
∴cos< ,
>=
=
,
∵sin θ= ,θ为锐角,∴cosθ=
.
∴ =
,解得x=
或x=
(舍去).
故当F是CD的中点时,sin θ= .
【解析】(1)以点A为坐标原点,建立如图(2)所示的空间直角坐标系,设F(x,1,0)(0≤x≤1),当点F与点D重合时,易知F(0,1,0),只要证明 =0,即可得出EF⊥AH.(2)sin θ=
,θ为锐角,可得cosθ=
.设
=(a,b,c)是平面C1EF的法向量,则
,可得平面C1EF的一个法向量
=
.又
=(0,0,1)是平面EFC的一个法向量,利用cos<
,
>=
,解出即可得出.
【考点精析】掌握空间中直线与直线之间的位置关系是解答本题的根本,需要知道相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点.
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【题目】某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟订的价格进行试销得到如下数据:
单价x(元) | 8 | 8.2 | 8.4 | 8.6 | 8.8 | 9 |
销量y(件) | 92 | 82 | 83 | 80 | 75 | 68 |
(1)求出y关于x的线性回归方程 .其中
=250
(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(I)中的关系,且该产品的成本是4元每件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?