Question

【题目】已知函数f（x）= +a是奇函数
（1）求常数a的值
（2）判断f（x）的单调性并给出证明
（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）= +a是奇函数，可得f（x）+f（﹣x）=0

∴ +a+ +a=0，解得a=

（2）解：由（1）得f（x）= + 在（﹣∞，0）与（0，+∞）上都是减函数，证明如下

任取x1＜x2则

f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ，

当x1，x2∈（0，+∞）时，2x1﹣1＞0，2x2﹣1＞0，2x2﹣2x1＞0，

所以 ，＞0，有f（x1）﹣f（x2）＞0；

当x1，x2∈（﹣∞，0）时，2x1﹣1＜0，2x2﹣1＜0，2x2﹣2x1＞0，

所以 ＞0，有f（x1）﹣f（x2）＞0，

综上知，函数f（x）在（﹣∞，0）与（0，+∞）上都是减函数

（3）解：2x→0时，f（x）→﹣ ，2x小于1趋向于1时，f（x）→﹣∞，

2x→+∞时，f（x）→ ，2x大于1趋向于1时，f（x）→+∞，

∴函数f（x）的值域是（﹣∞，﹣ ）∪（ ，+∞）

【解析】（1）函数f（x）是奇函数，可得方程f（x）+f（﹣x）=0代入函数解析式，由此方程求出a的值；（2）由（1）函数f（x）= + ，由解析式形式知f（x）= + 在（﹣∞，0）与（0，+∞）上都是减函数，由定义证明即可；（3）结合函数的单调性，从而求出函数的值域．