题目内容
【题目】已知(
为自然对数的底数),
.
(1)当时,求函数
的极小值;
(2)当时,关于
的方程
有且只有一个实数解,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1)由题意,当时
,然后求导函数,分析单调性求得极值;
(2)先将原方程化简,然后换元转化成只有一个零点,再对函数进行求导,讨论单调性,利用零点存在性定理求得a的取值.
(1)当时
,
令
解得
递减 | 极小值 | 递增 |
(2)设,
令,
,
,设
,
,
由得,
,
在
单调递增,
即在
单调递增,
,
①当,即
时,
时,
,
在
单调递增,又
,
此时在当
时,关于
的方程
有且只有一个实数解.
②当,即
时,
,又
故,当
时,
,
单调递减,又
,
故当时,
,
在内,关于
的方程
有一个实数解
.
又时,
,
单调递增,
且,令
,
,
,故
在
单调递增,又
故在
单调递增,故
,故
,又
,由零点存在定理可知,
.
故当时,
的方程
有两个解为
和
综上所述:当时
的方程
有且只有一个实数解
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