题目内容
【题目】已知函数定义在
上且满足下列两个条件:
①对任意都有
;
②当时,有
,
(1)求,并证明函数
在
上是奇函数;
(2)验证函数是否满足这些条件;
(3)若,试求函数
的零点.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3).
【解析】
令
代入即可求得
,令
,则可得
,即可证明结论
根据函数的解析式求出定义域满足条件,再根据对数的运算性质,计算
与
并进行比较,根据对数函数的性质判断当
时,
的符号,即可得证
用定义法先证明函数
的单调性,然后转化函数
的零点为
,利用条件进行求解
(1)对条件中的,令
得
.
再令可得
所以在(-1,1)是奇函数.
(2)由可得
,其定义域为(-1,1),
当时,
∴
∴
故函数是满足这些条件.
(3)设,则
,
,
由条件②知,从而有
,即
故上单调递减,
由奇函数性质可知,在(0,1)上仍是单调减函数.
原方程即为,
在(-1,1)上单调
又
故原方程的解为.
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练习册系列答案
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