题目内容
【题目】已知圆C:.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,且截距不为零,求此切线的方程;
(2)从圆C外一点P向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有,
求使得取得最小值的点P的坐标
【答案】(1)x+y+1=0或x+y-3=0;(2)点P的坐标为.
【解析】
本题考查用点斜式、斜截式求直线方程的方法,体现了分类讨论的数学思想,点到直线的距离公式,判断P在直线2x-4y+3=0上,|PM|的最小值就是|PO|的最小值,时间诶体的关键.
(1)当截距不为零时:设切线方程为,根据圆心到切线的距离等于半径求出a的值,即得切线方程,当截距等于零时:设切线方程为y=kx(k≠0),同理可得k=2±,从而得到圆的所有的切线方程.
(2)有切线的性质可得|PM|2=|PC|2-|CM|2,又|PM|=|PO|,可得2x0-4y0+3=0.动点P在直线2x-4y+3=0上,|PM|的最小值就是|PO|的最小值,过点O作直线2x-4y+3=0的垂线,垂足为P,垂足坐标即为所求.
(1)切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零,
设切线方程为,()
又圆C:,圆心C到切线的距离等于圆的半
径,
则所求切线的方程为:。
(2)切线PM与半径CM垂直,
动点P的轨迹是直线,的最小值就是的最小
值,而的最小值为O到直线的距离d=,
所求点坐标为P.
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