题目内容
【题目】已知直线
(
为参数)，曲线
(
为参数)．
（1）设直线
与曲线
相交于
两点，求劣弧
的弧长；
（2）若把曲线上各点的横坐标缩短为原来的
，纵坐标缩短为原来的
，得到曲线
，设点
是曲线上的一个动点，求点到直线的距离的最小值，及点坐标.
【答案】（1）
（2）最小值为
．
【解析】
（1）根据条件得到
的普通方程以及曲线
的直角坐标方程，两方程联立得到交点坐标即可计算出弦长，由此确定出劣弧长度；
（2）根据坐标变换得到
的曲线，将
点坐标表示为参数形式，利用点到直线的距离公式以及三角恒等变换的内容，确定出距离的最小值以及此时的点坐标.
解（1）直线的普通方程为
，曲线的普通方程为
．
联立得
得交点为
，则
，
所以的圆心和
构成等边三角形，劣弧
的弧长
；
（2）曲线的参数方程为
(
为参数)，
设点的坐标是
，从而点到直线的距离为
，
当
时，
取得最小值，且最小值为．
此时
，所以.
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