题目内容
【题目】已知椭圆两焦点分别为
是椭圆在第一象限弧上一点,并满足
,过P作倾斜角互补的两条直线
分别交椭圆于
两点.
(1)求点坐标;
(2)求证:直线的斜率为定值;
(3)求面积的最大值.
【答案】(1) ; (2)证明见解析;(3)
.
【解析】
(1)设出的坐标,则可分别表示出
和
,进而利用
求得
和
的关系,同时根据
求得
和
即
的坐标;(2)设出
的方程,与椭圆方程联立根据
,表示出
和
,同理表示出点
的坐标,进而求得
的斜率,化简即可得结果;(3)设出
的方程与椭圆的方程联立,利用韦达定理表示出
和
,进而求得
,最后利用弦长公式求得
的长,利用三角形面积公式表示出三角形面积,结合基本不等式即可得到结论.
(1)由题可得,
设,
则,
,
点
在曲线上,则
,
从而,得
,
则点的坐标为
.
(2)由题意知,两直线的斜率必存在,设
的斜率为
,
则的直线方程为
,
由得
,
设,则
,
同理可得,
则,
的斜率
为定值.
(3)设的直线方程
,
得
,
由得
,
到
的距离为
,
则
,
当且仅当时取等号,
三角形
面积的最大值为
.
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