Question

【题目】设函数.

（Ⅰ）求证：当时，；

（Ⅱ）存在，使得成立，求a的取值范围；

（Ⅲ）若对恒成立，求b的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.

【解析】

（Ⅰ）转化求函数g（x）在（0，π]上的最大值，利用函数的导数判断单调性进而求解；

（Ⅱ）依题意即转化为求函数f（x）在（0，π]上的最小值，利用函数的导数判断单调性进而求解；

（Ⅲ）先表示出函数g（bx），将恒成立问题转化为函数求最值问题，利用函数的导数判断单调性进而求解，注意b的范围的讨论．

（Ⅰ）因为当时，，

所以在上单调递减，

又，所以当时，.

（Ⅱ）因为，

所以，

由（Ⅰ）知，当时，，所以，

所以在上单调递减，则当时，

由题意知，在上有解，所以，从而.

（Ⅲ）由，得对恒成立，

①当，0，1时，不等式显然成立.

②当时，因为，所以取，

则有，此时不等式不恒成立.

③当时，由（Ⅱ）可知在上单调递减，而，

，

成立.

④当时，当时，，

则，不成立，

综上所述，当或时，有对恒成立.