题目内容
【题目】已知正项数列满足:
,
,其中
.
(1)若,求数列
的前
项的和;
(2)若,
.
①求数列的通项公式;
②记数列的前
项的和为
,若无穷项等比数列
始终满足
,求数列
的通项公式.
【答案】(1)(2)①
②
【解析】
(1)当,
,求和时相邻两项组合得
,然后再分组,利用等差、等比数列的前
项和的公式求和.
(2)①当,
时,由条件可得
,即数列
的奇数项和偶数项分别成公差为4的等差数列,分奇数项和偶数项分别求通项公式可得答案.
②由①可求出,由
可得
,则
可以得到
,再讨论当
时,成立,所以
,
时可用反证法说明不成立.
解:(1)当时,
,记数列
的前
项的和为
;
(2)①当,
时,由
,所以
,
所以
所以数列的奇数项和偶数项分别成公差为4的等差数列,
所以,
所以;
②由①可知
设等比数列的公比为
,
因为无穷项等比数列始终满足
,
所以当时,
,所以
,
所以,
由,所以
当时,成立,所以
;
当时,下证
对任意
不恒成立,
要证,即证
先证,从而得到
,即
下证对任意的
不恒成立,
令,所以要证
对任意的
不恒成立,
所以存在,当
时,
所以对任意的
不恒成立.
所以当时,
对任意
不恒成立,
所以,所以
.
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