Question

【题目】已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；
（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣b，

又g′（x）=ex﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤ex≤e，

∴①当 时，则2a≤1，g′（x）=ex﹣2a≥0，

∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g（0）=1﹣b；

②当 ，则1＜2a＜e，

∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=ex﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=ex﹣2a＞0，

∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，

g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；

③当 时，则2a≥e，g′（x）=ex﹣2a≤0，

∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b，

综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为

（2）解：由f（1）=0，e﹣a﹣b﹣1=0b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，

若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，

由（1）知当a≤ 或a≥ 时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．

若 ，则gmin（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1

令h（x）= （1＜x＜e）

则 = ，∴ ．由 ＞0x＜

∴h（x）在区间（1， ）上单调递增，在区间（ ，e）上单调递减，

= = ＜0，即gmin（x）＜0 恒成立，

∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间 ，

又 ，所以e﹣2＜a＜1，

综上得：e﹣2＜a＜1．

【解析】（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点．