题目内容
7.求下列各函数的最值.(1)y=2x+$\sqrt{1-2x}$;
(2)y=x+4+$\sqrt{9-{x}^{2}}$.
分析 (1)令t=$\sqrt{1-2x}$(t≥0),由二次函数的最值求法,即可得到所求最值;
(2)由定义域,可令x=3sinα,α∈[-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$],运用两角和的正弦公式和正弦函数的值域,即可得到所求最值.
解答 解:(1)令t=$\sqrt{1-2x}$(t≥0),
则x=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$,
y=1-t2+t=-(t-$\frac{1}{2}$)2+$\frac{5}{4}$,
当t=$\frac{1}{2}$时,函数取得最大值,且为$\frac{5}{4}$,
无最小值;
(2)由y=x+4+$\sqrt{9-{x}^{2}}$可得
9-x2≥0,解得-3≤x≤3,
可令x=3sinα,α∈[-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$],
则y=3sinα+3cosα+4
=3$\sqrt{2}$sin(α+$\frac{π}{4}$)+4,
由α+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$,$\frac{3π}{4}$],
可得sin(α+$\frac{π}{4}$)∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,1],
即有α=-$\frac{π}{2}$时,函数取得最小值,且为4-3=1;
α=$\frac{π}{4}$时,函数取得最大值,且为4+3$\sqrt{2}$.
点评 本题考查根式函数的最值的求法,注意运用换元法,运用二次函数的最值和三角函数的最值求法,考查运算能力,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目
2.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则下列判断正确的是( )
A. | a<0,b<0,c<0 | B. | a>0,b>0,c<0 | C. | a>0,b<0,c>0 | D. | a>0,b>0,c>0 |