题目内容
16.已知函数f(x)=loga(-x2+log2ax)的定义域是(0,$\frac{1}{2}$),则实数a的取值范围为[$\frac{1}{32}$,$\frac{1}{2}$).分析 利用函数的单调性得出log2ax>0,0<2a<1,0$<a<\frac{1}{2}$,判断出函数g(x)=-x2+log2ax在(0,$\frac{1}{2}$)单调递减,转化为$-\frac{1}{4}$+log2a$\frac{1}{2}$≥0即可求解.
解答 解:∵函数f(x)=loga(-x2+log2ax)的定义域是(0,$\frac{1}{2}$),
∴-x2+log2ax>0,x∈(0,$\frac{1}{2}$),
∵-$\frac{1}{4}$<-x2<0,
∴log2ax>0,
∴0<2a<1,0$<a<\frac{1}{2}$,
∵函数g(x)=-x2+log2ax在(0,$\frac{1}{2}$)单调递减,
∴g(x)$>g(\frac{1}{2})$=$-\frac{1}{4}$+log2a$\frac{1}{2}$恒成立
∴只需$-\frac{1}{4}$+log2a$\frac{1}{2}$≥0即可.
a$≥\frac{1}{32}$,
故实数a的取值范围为[$\frac{1}{32}$,$\frac{1}{2}$),
故答案为:[$\frac{1}{32}$,$\frac{1}{2}$).
点评 本题考查了有关系的二次,对数函数的单调性,转化思想求解函数的最值结合不等式求解,属于中档题.
练习册系列答案
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