Question

12．求f（x）=$\sqrt{x}$-ln（x+a）（a＞0）的单调区间．

Answer 1

分析 求函数的导数，然后根据导数与函数单调区间的关系对a的大小进行分类讨论．

解答 解：函数的定义域为[0，+∞），
函数的f（x）的导数f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$-$\frac{1}{x+a}$，
令f′（x）=0，
即x²+（2a-4）x+a²=0，
其中△=4（a-2）²-4a²=8-8a，
（i）当a＞1时，△＜0成立，
对所有x＞0，有x²+（2a-4）+a²＞0．
即f′（x）＞0，
此时f（x）在（0，+∞）内单调递增；
（ii）当a=1时，△=0成立，
对x≠1，有x²+（2a-4）x+a²＞0，
即f′（x）＞0，
此时f（x）在（0，1）内单调递增，且在（1，+∞）内也单调递增，
又知函数f（x）在x=1处连续，
因此，函数f（x）在（0，+∞）内单调递增；
（iii）当0＜a＜1时，△＞0成立，
令f′（x）＞0，
即x²+（2a-4）x+a²＞0，
解得x＜2-a-2$\sqrt{1-a}$或x＞2-a+2$\sqrt{1-a}$，
因此，函数f（x）在区间$（0，2-a-2\sqrt{1-a}）$，$（2-a+2\sqrt{1-a}，+∞）$内也单调递增．
令f′（x）＜0，
即x²+（2a-4）x+a²＜0，
解得$2-a-2\sqrt{1-a}＜x＜2-a+2\sqrt{1-a}$，
因此，函数f（x）在区间$（2-a-2\sqrt{1-a}，2-a+2\sqrt{1-a}）$内单调递减．

点评 本题主要考查函数单调性的判断，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．考查学生应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算能力．