Question

【题目】椭圆：的左顶点为，右焦点为，上顶点为，下顶点为，若直线与直线的交点为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）点为椭圆的长轴上的一个动点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，证明：为定值．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）由椭圆的左顶点的坐标为，上下顶点的坐标为，右焦点为，则直线的方程为，直线的方程为，又因为直线与直线的交点为，把点分别代入直线的方程，解得且，又因为，解得，所以椭圆的标准方程为．．．．．．．．．．．．4分

（2）设的方程为，代入并整理得：，．．．．．6分

设，则，

又因为，同理．．．．．．．．．．．．．．8分

则，

所以是定值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

【命题意图】本题考查椭圆的标准方程，定值问题，直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，意在考查转化与化归能力，综合分析问题和解决问题的能力及基本运算能力．