题目内容
【题目】已知函数.
(1)若,且
在
上单调递减,求
的取值范围;
(2)若,且
在区间
恒成立,求
的取值范围;
(3)当,
时,求证:在区间
至少存在一个
,使得
.
【答案】(1);(2)
;(3)证明见解析.
【解析】
(1)根据二次函数在区间
上单调递减得出
,进而可求得实数
的取值范围;
(2)由题意得出对任意的
恒成立,利用参变量分离法得出
,求出函数
在
上的最大值,即可得出实数
的取值范围;
(3)利用反证法,假设对任意的,均有
,根据题意得出
,推出矛盾即可.
(1)当时,
,该二次函数的图象开口向上,对称轴为直线
,
由于函数在
单调递减,则有
,解得
.
因此,实数的取值范围是
;
(2)由题可知在
恒成立,则
且
,
令,
,则二次函数
在
时单调递减,
当时,函数
取得最大值,即
,
,
因此,实数的取值范围是
;
(3)由题可知,且
,函数开口向上,对称轴
,
则在
单调递减,其值域为
,
若不存在使得
,即对任意
都有
,
即,可得
,即
,与
矛盾.
故必存在,使得
.
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练习册系列答案
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【题目】甲、乙两名射手互不影响地进行射击训练,根据以往的数据统计,他们射击成绩的分布列如下表所示.
射手甲 | 射手乙 | ||||||
环数 | 环数 | ||||||
概率 | 概率 |
(1)若甲射手共有发子弹,一旦命中
环就停止射击,求他剩余
发子弹的概率;
(2)若甲、乙两名射手各射击次,求
次射击中恰有
次命中
环的概率;
(3)若甲、乙两名射手各射击次,记所得的环数之和为
,求
的概率分布.