Question

15．过抛物线y²=2px（p为不等于2的素数）的焦点F，作与x轴不垂直的直线l交抛物线于M、N两点，线段MN的垂直平分线交MN于点P，交x轴于点Q．
（1）求PQ的中点R的轨迹L的方程；
（2）证明：轨迹L上有无穷多个整点，但L上任意整点到原点的距离均不是整数．

Answer 1

分析 （1）由抛物线方程求出焦点坐标，再由题意设出直线l的方程为y=k（x-$\frac{p}{2}$）（k≠0），联立直线方程和抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到P点坐标，结合PQ⊥l，求得PQ的方程，再设R的坐标为（x，y），再由中点坐标公式求得PQ的中点R的轨迹L的方程；
（2）直接得到对任意非零整数t，点（p（4t²+1），pt）都是l上的整点，说明l上有无穷多个整点．
再反设l上由一个整点（x，y）到原点的距离为正数m，不妨设x＞0，y＞0，m＞0，然后结合p是奇素数、点在抛物线上及整点（x，y）到原点的距离为正数m，逐渐推出矛盾，说明l上任意整点到原点的距离均不是整数．

解答 （1）解：y²=2px的焦点F（$\frac{p}{2}，0$），设直线l的方程为y=k（x-$\frac{p}{2}$）（k≠0），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=k（x-\frac{p}{2}）}\end{array}\right.$，得${k}^{2}{x}^{2}-（p{k}^{2}+2p）x+\frac{1}{4}{p}^{2}{k}^{2}=0$，
设M，N的横坐标为x₁，x₂，则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{p{k}^{2}+2p}{{k}^{2}}$，得${x}_{P}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{p{k}^{2}+2p}{2{k}^{2}}$，
${y}_{p}=k（\frac{p{k}^{2}+2p}{2{k}^{2}}-\frac{p}{2}）=\frac{p}{k}$，由PQ⊥l，得PQ的斜率为-$\frac{1}{k}$，
故PQ的方程为$y-\frac{p}{k}=-\frac{1}{k}（x-\frac{p{k}^{2}+2p}{2{k}^{2}}）$，代入y_Q=0，得${x}_{Q}=p+\frac{p{k}^{2}+2p}{2{k}^{2}}=\frac{3p{k}^{2}+2p}{2{k}^{2}}$，
设R的坐标为（x，y），则$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}（{x}_{P}+{x}_{Q}）=p+\frac{p}{{k}^{2}}}\\{y=\frac{1}{2}（{y}_{P}+{y}_{Q}）=\frac{p}{2k}}\end{array}\right.$，
整理得：p（x-p）=$\frac{{p}^{2}}{{k}^{2}}=4{y}^{2}（y≠0）$，
∴PQ的中点R的轨迹L的方程为4y²=p（x-p）（y≠0）；
（2）证明：显然对任意非零整数t，点（p（4t²+1），pt）都是l上的整点，
故l上有无穷多个整点．
反设l上由一个整点（x，y）到原点的距离为正数m，不妨设x＞0，y＞0，m＞0，
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}={m}^{2}①}\\{4{y}^{2}=p（x-p）②}\end{array}\right.$，∵p是奇素数，
于是y整除p，由②可推出x整除p，再由①可推出m整除p，
令x=px₁，y=py₁，m=pm₁，
则有$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}={{m}_{1}}^{2}③}\\{4{{y}_{1}}^{2}={x}_{1}-1④}\end{array}\right.$，
由③，④得：${{x}_{1}}^{2}+\frac{{x}_{1}-1}{4}={{m}_{1}}^{2}$，于是
$（8{x}_{1}+1）^{2}-（8{m}_{1}）^{2}=17$，
即（8x₁+1+8m₁）（8x₁+1-8m₁）=17，
则8x₁+1+8m₁=17，8x₁+1-8m₁=1，
得x₁=m₁=1，故y₁=0，
有y=py₁=0，
与l上的点满足y≠0矛盾．
∴轨迹l上有无穷多个整点，但l上任意整点到原点的距离均不是整数．

点评 本题考查了轨迹方程的求法，考查了反证法证题的思想方法，综合考查了学生的灵活变形能力和整体运算能力，灵活性强，难度大，属高数竞赛题．