Question

10．已知函数f（x）=$\frac{x}{2}$，数列{a_n}满足关系为a_n=f（a_n-1），（n≥2且n∈N）且a₁=16．
（1）证明：数列{a_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n，并求S_n取最大值时n的值．

Answer 1

分析 （1）根据函数解析式得出即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，n≥2，利用等比数列定义判断证明．
（2）运用等比数列的通项公式求解即可．
（3）根据对数定义判断得出b_n=log₂2^5-n=5-n，运用等差数列的n项和公式求解得出S_n=$\frac{n（4+5-n）}{2}$=$\frac{n（9-n）}{2}$．再利用函数性质求解即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{x}{2}$，数列{a_n}满足关系为a_n=f（a_n-1），（n≥2且n∈N）且a₁=16．
∴a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2}$，
即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，n≥2，
∴数列{a_n}是首项为16，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
（2）根据{a_n}是首项为16，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
a_n=16×（$\frac{1}{2}$）^n-1=2^5-n，
（3）∵设b_n=log₂a_n，
∴b_n=log₂2^5-n=5-n，
可判断{b_n}为等差数列．
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{n（4+5-n）}{2}$=$\frac{n（9-n）}{2}$．
根据二次函数性质得出：n=4或n=5最大值为10．

点评 本题考查了数列的定义，性质，结合函数性质求解，综合性较强，但是难度不大．