题目内容
【题目】已知函数
①当时,函数
有______零点;
②若函数的值域为
,则实数
的取值范围是______.
【答案】2个
【解析】
①求出当时分段函数解析式,求函数的零点个数等价于求方程
的根的个数;②当
时,利用导数研究函数的单调性从而求函数的值域;当
时,由题意知
,函数图像为开口向上的二次函数,则最小值
,求解不等式即可.
①当时,
,
当时,
,
,
;
当时,
,解得
(舍去)或
,
所以是函数
的零点,即当
时,函数
有两个零点;
②i、当时,
,
令,解得
,
所以函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,且函数过原点,最小值为
;
ii、当时,
,
若,二次函数
开口向下,最小值取到负无穷,不符合题意;
若,则函数
为单调递减的一次函数,不符合题意;
若,函数图像为开口向上的二次函数,最小值在对称轴
处取到,
则.
故答案为:2个;
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