题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)当时,证明:
(其中e为自然对数的底数).
【答案】(1)当时,
的递增区间为
;
当时,
的递增区间为
,
,递减区间为
;
当时,
的递增区间为
,
,递减区间为
;
(2)见解析
【解析】
(1)求出函数的导数,通过讨论的取值范围,求出函数的单调区间即可.
(2)问题转化为,令
,根据函数的单调性证明即可.
(1)由题意,函数的定义域为
,
当时,
恒成立,故
的递增区间为
;
当时,在区间
,
时
,
时
,
所以的递增区间为
,
,递减区间为
;
当时,在区间
,
时
,
时
,
所以的递增区间为
,
,递减区间为
;
综上所述,当时,
的递增区间为
;
当时,
的递增区间为
,
,递减区间为
;
当时,
的递增区间为
,
,递减区间为
;
(2)当时,由
,只需证明
.
令
,
.
设,则
.
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增,
∴当时,
取得唯一的极小值,也是最小值.
的最小值是
成立.
故成立.
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