题目内容
【题目】设分别是椭圆
的左、右焦点.
(1)若是该椭圆上的一个动点,求
的最大值和最小值;
(2)设过定点的直线
与椭圆交于不同的两点
,且
为锐角(其中
为坐标原点),求直线
的斜率的取值范围.
【答案】(1)
;(2)
.
【解析】
(1)设出点P的坐标,向量坐标化得到的表达式,进而得到最值;(2)
为锐角即
,设出点AB的坐标,向量坐标化得到点积的表达式为:x1x2+y1y2,联立直线和椭圆方程,由韦达定理得到结果.
(1)由已知得,F1(-,0),F2(
,0),设点P(x,y),
则+y2=1,且-2≤x≤2.
所以·
=(-
-x,-y)·(
-x,-y)=x2-3+y2=x2-3+1-
=
x2-2,
当x=0,即P(0,±1)时,(·
)min=-2;
当x=±2,即P(±2,0)时,(·
)max=1.
(2)由题意可知,过点M(0,2)的直线l的斜率存在.
设l的方程为y=kx+2,
由消去y,化简整理得
(1+4k2)x2+16kx+12=0,Δ=(16k)2-48(1+4k2)>0,解得k2>.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=
,
又∠AOB为锐角,所以·
>0,即x1x2+y1y2>0,
有x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4
=(1+k2)·+2k·
+4>0,解得k2<4,
所以<k2<4,即k∈
.
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