题目内容
【题目】已知抛物线(
),焦点
到准线的距离为
,过点
作直线
交抛物线
于点
(点
在第一象限).
(Ⅰ)若点焦点
重合,且弦长
,求直线
的方程;
(Ⅱ)若点关于
轴的对称点为
,直线
交x轴于点
,且
,求证:点B的坐标是
,并求点
到直线
的距离
的取值范围.
【答案】(Ⅰ) 或
.(Ⅱ)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)确定抛物线的方程,设出直线方程与抛物线方程联立,利用弦长|PQ|=2,即可求直线l的方程;(Ⅱ)设出直线方程与抛物线方程联立,利用韦达定理,结合向量知识,证明B(-,0),确定出
,或m的范围,表示出点B到直线l的距离d,即可求得取值范围
试题解析:(Ⅰ)解:由题意可知,,故抛物线方程为
,焦点
.
设直线l的方程为,
,
.
由消去x,得
.所以△=n2+1>0,
.
因为,点A与焦点F重合,
所以.
所以n2=1,即n=±1.所以直线l的方程为或
,
即或
.
(Ⅱ)证明:设直线l的方程为(m≠0),
,
则
由消去x,得
,
因为,所以△=m2+4x0>0,y1+y2=m,y1y2=-x0.
设B(xB,0),则.
由题意知,,所以
,
即.
显然,所以
,即证B(-x0,0).
由题意知,△MBQ为等腰直角三角形,所以,即
,也即
,
所以,所以
,
即,所以
>0,即
又因为,所以
.
,
所以d的取值范围是.
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