题目内容
6．已知数列{an}是各项为正数的等比数列，数列{bn}的前n项和Sn=n2+5n，且满足a4=b14，a6=b126，令cn=log${\;}_{\sqrt{2}}$an（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{bn}及{cn}的通项公式；
（Ⅱ）设Pn=cb1+cb2+…+cbn，Qn=cc1+cc2+…+ccn，试比较Pn与Qn的大小，并说明理由．
分析 （I）数列{bn}的前n项和Sn=n2+5n，当n=1时，b1=6，当n≥2时，bn=Sn-Sn-1，即可得出bn．设等比数列{an}的公比q＞0，利用a4=b14=32，a6=b126=256，利用等比数列的通项公式可得an，进而得到cn=log${\;}_{\sqrt{2}}$an=3n-2（n∈N*）．
（II）${c}_{{b}_{n}}$=3（2n+4）-2=6n+10.${c}_{{c}_{n}}$=3（3n-2）-2=9n-8．利用等差数列的前n项和公式可得：Pn，Qn．利用“作差法”即可比较出大小．
解答 解：（I）∵数列{bn}的前n项和Sn=n2+5n，
∴当n=1时，b1=6，当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=n2+5n-[（n-1）2+5（n-1）]=2n+4，当n=1时也成立，
∴bn=2n+4．
设等比数列{an}的公比q＞0，
∵a4=b14=32，a6=b126=2×126+4=256，
∴q2=$\frac{{a}_{6}}{{a}_{4}}$=$\frac{256}{32}$=8，q＞0，解得q=2$\sqrt{2}$．
∴an=${a}_{4}{q}^{n-4}$=$32×（2\sqrt{2}）^{n-4}$=$（\sqrt{2}）^{3n-2}$，
∴cn=log${\;}_{\sqrt{2}}$an=3n-2（n∈N*）．
（II）${c}_{{b}_{n}}$=3（2n+4）-2=6n+10.${c}_{{c}_{n}}$=3（3n-2）-2=9n-8．
∴Pn=cb1+cb2+…+cbn=$\frac{n（16+6n+10）}{2}$=3n2+13n，
Qn=cc1+cc2+…+ccn，=$\frac{n（1+9n-8）}{2}$=$\frac{9}{2}{n}^{2}-\frac{7}{2}n$．
∴Pn-Qn=$-\frac{3}{2}n（n-11）$，
∴当n≤10时，Pn＞Qn；
当n=11时，Pn=Qn；
当n＞11时，Pn＜Qn．
点评 本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“作差法”、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
| A． | （-∞，-$\frac{2}{3}$） | B． | （$\frac{2}{3}$，+∞） | C． | （-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$） | D． | （-∞，-$\frac{2}{3}$）∪（$\frac{2}{3}$，+∞） |
某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率直方图（如图），其中上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．
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