题目内容

7．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x3-4x+4．
（1）求函数的单调区间；
（2）若x∈[-3，3]，试求函数在此区间上的最大值与最小值．

分析 （1）求导数可得f′（x）=（x+2）（x-2），解不等式可得单调区间；
（2）由（1）知函数的极大值f（-2）=$\frac{28}{3}$，极小值f（2）=-$\frac{4}{3}$，计算f（-3）=7，f（3）=1，比较大小可得答案．

解答 解：（1）求导数可得f′（x）=x2-4=（x+2）（x-2），
令f′（x）=（x+2）（x-2）＞0可得x＞2或x＜-2，
令f′（x）=（x+2）（x-2）＜0可得-2＜x＜2，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-2）和（2，+∞），
函数f（x）的单调递减区间为（-2，2）；
（2）由（1）知函数f（x）在x=-2时取到极大值f（-2）=$\frac{28}{3}$，
在x=2时取到极小值f（2）=-$\frac{4}{3}$，
又计算可得f（-3）=7，f（3）=1，
比较可得函数在区间[-3，3]上的最大值为$\frac{28}{3}$，最小值为-$\frac{4}{3}$

点评 本题考查函数与导数的综合应用，涉及函数的单调性和闭区间的最值，属中档题．

练习册系列答案
相关题目
2．已知函数f（x）=3x2+1，g（x）=x3-9x，若f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，则实数k的取值范围是（-∞，-3]．
3．函数y=|x-3|+|x+3|的单调递增区间是[3，+∞）．
15．若函数f（x）=2x2-lnx在其定义域的一个子区间（k-1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（　　）
A．[1，$\frac{3}{2}$）B．（-∞，-$\frac{1}{2}$）C．（$\frac{3}{2}$，+∞）D．（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）
2．抛物线y2=16x的焦点坐标是（4，0）．
12．若函数y=lnx-$\frac{a}{2}$x2在区间（${\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，+∞）上是增函数，a的取值范围为（-∞，0]．
19．如图已知抛物线 C：y2=2px（p＞0）的准线为 l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切，过原点作倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线t，交 l于点A，交圆M于点B，且|AO|=|OB|=2．
（I）求圆M和抛物线C的方程；
（Ⅱ）已知点N（4，0），设G，H是抛物线上异于原点O的两个不同点，且N，G，H三点共线，证明：$\overrightarrow{OG}⊥\overrightarrow{OH}$并求△GOH面积的最小值．
16．已知抛物线G：x2=2py（p＞0）上一点R（m，4）到其焦点的距离为$\frac{17}{4}$．
（Ⅰ）求p与m的值；
（Ⅱ）设抛物线G上一点P的横坐标t，过点P引斜率为-1的直线l交抛物线G于另一点A，交x轴于点B，若|OA|=|OB|（O为坐标原点），求点P的坐标．
17．定义在R上的函数y=f（x），满足f（2-x）=f（x），（x-1）f′（x）＜0，若f（3a+1）＜f（3），则实数a的取值范围是（　　）
A．（-∞，-$\frac{2}{3}$）B．（$\frac{2}{3}$，+∞）C．（-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$）D．（-∞，-$\frac{2}{3}$）∪（$\frac{2}{3}$，+∞）

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网