Question

8．已知函数f（x）=|e^x+$\frac{a}{e^x}$|，（a∈R）在区间[0，1]上单调递增，则实数a的取值范围是a∈[-1，1]．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系进行求解，注意要对a进行讨论．

解答 当a＞0时，f（x）=|e^x+$\frac{a}{e^x}$|=e^x+$\frac{a}{e^x}$，
则函数的导数f′（x）=e^x-$\frac{a}{{e}^{x}}$=$\frac{{e}^{2x}-a}{{e}^{x}}$，且f（x）＞0恒成立，
由f′（x）＞0解得e^2x＞a，即x＞$\frac{1}{2}$lna，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0解得e^2x＜a，即x＜$\frac{1}{2}$lna，此时函数单调递减，
若f（x）在区间[0，1]上单调递增，则$\frac{1}{2}$lna≤0，
解得0＜a≤1，即a∈（0，1]
当a=0时，f（x）=|e^x+$\frac{a}{e^x}$|=e^x在区间[0，1]上单调递增，满足条件．
当a＜0时，y=e^x+$\frac{a}{e^x}$在R单调递增，
令y=e^x+$\frac{a}{e^x}$=0，则x=ln$\sqrt{-a}$，
则f（x）=|e^x+$\frac{a}{e^x}$|在（0，ln$\sqrt{-a}$]为减函数，在[ln$\sqrt{-a}$，+∞）上为增函数
则ln$\sqrt{-a}$≤0，解得a≥-1
综上，实数a的取值范围是[-1，1]
故答案为：a∈[-1，1]

点评 本题主要考查函数单调性的应用，利用分类讨论，结合函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．综合考查导数的应用．