题目内容
【题目】如图,在三棱柱中,
,
.
(I)求证:;
(II)在棱 上取一点 M,
,若
与平面
所成角的正弦值为
,求
.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(I)由菱形的性质可得,由等腰三角形的性质可得
,由线面垂直的判定定理可得
平面
,从而根据面面垂直的判定定理可得结果;(II)取
的中点为
,根据面面垂直的性质,结合等腰三角形的性质可证明,
两两垂直,以,
的正方向为轴、
轴、
轴正方向建立空间直角坐标系,求出
,由(1)知平面
的一个法向量为
,利用空间向量夹角余弦公式列方程求解即可.
(I)证明:由题意知四边形是菱形,
则,如图,设
,
连接,易求得
,又
为
的中点,
所以,
又,
所以,
所以
(II)解:如图所示,取的中点为
,
则由,
得,
又平面,
平面,
所以,
又,所以
,
以为原点,
的正方向为
轴、
轴、
轴正方向建立空间直角坐标系
,
则
,设
,则由
,
得所以
,
由(1)知平面的一个法向量为
所以,
解得或-1(负值舍去),
所以
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