题目内容
【题目】如图,在四面体中,E是线段
的中点,
,
,
.
(1)证明:;
(2)求平面与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)取线段的中点
,连接
,
.证明
.推出
平面
,然后证明
.
(2)解法一:令,点
为原点,射线
、
、
分别为
轴、
轴、
轴正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.求出平面
、平面
的法向量,利用空间向量的数量积求解平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
解法二:令,取
中点
,则
,
,说明
为二面角
的平面角,利用余弦定理转化求解,平面
与平面
所成锐二面角的余弦值即可.
(1)取线段的中点F,连接
、
.
因为E是线段的中点,所以
.又
,所以
.
因为,F是
的中点,所以
.
因为平面
,
平面
,
,
所以平面
,而
平面
,
所以.
(2)解法一:
令,则
,
那么,
,
所以,所以
.
又,
,故可以以点F为原点,射线
、
、
分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.
则,
,
,
,
所以,
,
.
设平面、平面
的法向量分别为
,
,
由,得
,取
,则
.
由,得
,取
,则
.
所以.
故平面与平面
所成锐二面角的余弦值为
.
解法二:
令,由已知及(1)可得:
,
所以,
均为棱长为a的正三角形.
取中点G,则
,
,故
为二面角
的平面角,
在中,
,
,
由余弦定理可得:,
故平面与平面
所成锐二面角的余弦值为
.
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431 | 257 | 393 | 027 | 556 | 488 | 730 | 113 | 537 | 989 |
则这三天中恰有两天降雨的概率约为__________.