Question

【题目】证明：存在无数个满足如下条件的整数組(a,b,c,d)：

（1）a>c>0，(a,c)=1；

（2）对任意给定的正整数k，恰有k个正整数n，使得(an+b)|(cn+d)。

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

当k=1时，，显然，a>c>0，(a,c)=1.

当n≥2时，an+b>(a-1)n+b+1>0.

而当n=1时，(an+b)|[(a-1)n+b+1].

故这样的整数组(a,b,c,d)有无数个.

当k≥2时，令a=2，b=1，c=1，，其中，p为任一奇素数，满足条件(1).

若，设

则.

易知，.

因为n为正整数，所以，.

故恰有k个解恰有k个解.

满足条件(2).

又这样的奇素数p有无限个，则(a,b,c,d)有无数組.

综上，原问题得证.